Професор др Грујо Бјековић, син Сава и мајке Данице (рођене Тадић), рођен је у Сокоцу. Средњу економску школу и Факултет физичке културе завршио је у Сарајеву.Постдипломски студиј уписао је на Факултету физичке културе у Сарајеву 1991. године, а магистрирао на Факултету физичке културе у Новом Саду. Докторску дисертацију одбранио је на Факултету физичке културе Универзитета Источно Сарајево. Као средњошколац, бавио се активно спортом па је одлучио да се упише на Факултет физичке културе у Сарајеву.

По завршетку основних студија запослио се као професор физичког васпитања у Гимназији на Сокоцу. Запажен као врстан педагог на реализацији програмских садржаја, изабран је за директора Средњошколског центра у Сокоцу и Хан Пијеску. На мјесту директора остаје два мандата и у том периоду остварује значајне резултате у образовноваспитној дјелатности. Након истека другог мандата изабран је за Предсједника ОКСК. Послије завршеног мандата прелази на рад у Извршно вијеће СРБиХ у Комитет образовања, науке, културе и физичке културе, на функцију руководиоца на пословима физичке културе. У том периоду иницира доношење Закона о физичкој култури и других подзаконских аката.

Пише и издаје Коментар закона о физичкој култури у сарадњи са Урошем Лалићем. Континуитет ових задатака он наставља у Министарству образовања, науке и културе Републике Српске од 6. априла 1992. године. У исто вријеме обавља и радне задатке начелника културе, савјетника за средње образовање… У том својству учествује у формирању Националног олимпијског комитета Републике Српске и постаје његов генерални секретар.

У циљу организовања и унапређивања спорта Републике Српске, у сарадњи са министром проф. др Љубомиром Зуковићем, ради на оживљавању спортских клубова посебно фудбалског спорта као при јератног најмасовнијег органи зованог спорта, уз помоћ истакнутих кадрова и спортских радника. Након оживљавања спортских клу бова формирају се и струковни спортски савези Републике Српске.

Први је формиран Фудбалски савез Републике Српске (5. септембар 1992. год.) и организује се низ такмичења међу клубовима а на кон тога у сарадњи са Фудбалским са везом Републике Српске и такмичења са клубовима Србије и Црне Горе. Иницира формирање Спортског савеза Републике Српске и успоставља систем такмичења у свим спортовима, организује у договору са савезима Куп такмичења Републике Српске.

Изналази могућност такмичења спортиста из Републике Српске у Југославији и учешћа на неким међународним такмичењима. У договору са министром проф. др Љубомиром Зуковићем и спортским савезима, посебно Фудбалским савезом РС, успоставља организацију школског и универзитетског спорта и физичке културе користећи искуства из Југославије. У том периоду биран је и за предсједника Савеза педагога физичке културе са сједиштем у Бањалуци.

Већ 1993. године иницира формирање Завода за физичку културу и Скупштина Републике Српске доноси одлуку о формирању истог. На иницијативу проф. др Љубомира Зуковића, залаже се за формирање посебног министарства за спорт. Од почетка 1998. до 2001. године именован је за помоћника министра за спорт и омладину у Влади Репyблике Српске.

За постигнуте резултате у области образовања, физичке културе и спорта одликован је са више признања и одликовања. Међу њима су и: Орден рада са сребрним вијенцем Предсједништва СФРЈ, Златна значка МОИа Кординационог одбора БиХ, Златна плакета Фудбалског савеза Републике Српске, Златна плакета Фудбалског савеза подручја Сарајевско-романијског, Признање за допринос у развоју кошаркашког спорта од 1992. године до 2002. године.

У радној групи за ревитализацију Факултета физичке културе 1994. године даје значајан допринос у стварању услова за његову дјелатност и рад. До сада је самостално или у сарадњи са другим ауторима објавио 14 књига односно уџбеника и 70 стручних и научних радова из области спорта и физичке културе. Учесник је на више симпозијума, међународних конгреса и научних скупова.

Проф. др Грујо Бјековић је дао огроман допринос афирмацији фудбала у Републици Српској. Он је у групи људи који су формирали Фудбалски савез Републике Српске, што је један од најзначајнијих догађаја у протеклих 100 година фудбала на овом простору.